| (Эта тема расположена в архиве и закрыта для обсуждения.) Версия для печати | |
| Конференция: | Конференция iXBT.com (http://forum.ixbt.com/) |
| Форум: | Программирование (http://forum.ixbt.com/?id=26) |
| URL: | http://forum.ixbt.com/topic.cgi?id=26:19226 |
| terex, 04.12.2002 17:09 |
Есть ли? |
| 1. Scorpio, 04.12.2002 17:49 |
Взять производную. В точках разрыва производная не определена или имеет огромное значение. |
| 2. BlackLor (Pell), 04.12.2002 20:34 |
А как задана функция? Аналитически, неявно, параметрически, таблицей на сетке или еще как? |
| 3. terex, 04.12.2002 23:15 |
Scorpio Я надеюсь Вы уже успели осознать недостаки вашего метода... Если нет, то hint: точки разрыва хочется отыскать всё же за конечный промежуток времени  BlackLor (Pell) Аналитически, явно. y = f(x) |
| 4. wdraco, 04.12.2002 23:35 |
terex на каких функциях собираетесь работать? а то ведь я могу туда и sign( sin(x) ) подсунуть, никогда всех точек разрыва не найдете (впрочем, для компьютера их конечное число - (max double - min double)/PI ), но дело не в этом - постановка задачи о нахождении всех точек разрыва любых функций мне кажется недостаточно осмысленной. вот нахождение всех точек разрыва в интервале - это уже лучше. это может быть сделано за конечное время. вопрос только в выборе шага. |
| 5. terex, 05.12.2002 00:16 |
wdraco Ну да да, согласен. Неточно сформулировал. Конечно на интервале. Но ведь всё равно наверно не перебором! Я ж приводил пример выше. Ведь если перебирать, то для хоть сколько-нить приемлемого шанса "попасть" во все точки разрыва на интервале, шаг нужно делать ну такиииииим маленьким, что аж страшно становиться. Никаких апаратно поддерживаетмый floating poit тут явно не хватит....  Ведь дожен же быть како-нибудь 'аналитический' способ решения задачи! Математики, АУ!!! Добавление от 05.12.2002 00:19: wdraco |
| 6. Scorpio, 05.12.2002 00:35 |
terex Ех, вам бы следовало подучить матчасть  . Если функция аналитическая то и работать надо аналитически, к стате когда возникает разрыв? Вам то должно быть видней, что за функция. Взяли производную, затем любой метод поиска корней уравнения, или проверка на гладкость и т.д. В каждом конкретном случае надо смотреть. А вобще, что понимается под точкой разрыва? Какие виды разрывов (а их три) собираетесь искать? [q=Да, кстати, по поводу sign( sin(x) ) и подобных: ведь ничего не мешает отловить периодичность][/q] Отлавливать периодичность еще более не тривиальная задача. |
| 7. terex, 05.12.2002 01:05 |
Scorpio цитата:1. Оправдаюсь: студент 1го курса я... 2. Парирую: ...аналитически, к стате когда возникает разрыв... а Вам бы русский язык  А функция может быть любой. Известно только, что она задана явно в виде y=f(x). Вобще, пользователь пишет выражение ( f(x) ), а я строю дерево чтобы вычислять значения функции в заданых точках, ну и анализирую эту функцию с целью получения информации, необходимой для построения графика. Вот и нужны точки разрыва по этмоу. |
| 8. Akina, 05.12.2002 09:24 |
terex Программно задача нерешаема. Как программно искать точку разрыва функции y=(x^2)/x ??? Либо ты попадешь в x=0 и поимеешь divide by zero, либо не попадешь и соответственно пропустишь точку разрыва. Либо будешь решать аналитически. |
| 9. Tarasov Alexey [Glorg], 05.12.2002 10:04 |
Akina при делении на ноль помогут исключения. а я строю дерево чтобы вычислять значения функции в заданых точках чтобы быстро вычислять этого _по-моему_ будет мало. Я делал оптимизацию порядка вычислений и записывал все не помню в какой нотации, но суть в том, чтобы перед сложением двух чисел ввести их оба в стек (аки на МК-54) >>2. Парирую: ...аналитически, к стате когда возникает разрыв... а Вам бы русский язык несерьёзно. |
| 10. Akina, 05.12.2002 10:13 |
Tarasov Alexey [Glorg] основная мысль была во второй половине утверждения. Если формулировать иначе - в подобных случаях вычислительно либо ты попадаешь ТОЧНО в точку разрыва (вероятность такого попадания при желании окончить расчеты в обозримом будущем какова?), либо пропускаешь ее... |
| 11. titov_alex, 05.12.2002 10:44 |
цитата (terex):И толку то?? Ну найдем мы экстемумы По идее - взять 2 производную было бы полезнее - чтобы узнать величину выпуклости - по ней мы сможем понять. где функция идет "слишком круто" => имеет место быть подозрение на разрыв... цитата (Akina):Не стал бы делать столь быстрых (хотя и ошарашивающих, а следовательно, привлекающих внимание ) выводов! Программно решаема !ЛЮБАЯ! задача которую можно сформулировать математически - вопрос только в ресурсах (аппаратные ресуры, время выполнения, время написания) - конечно, если математическое решение задачи существует цитата (Akina):Дык при делении на ноль - точка разрыва и есть => задача решена!!! Осталось только для упрощения задачи, проверить корни всех знаменателей в дробях выражения f(x) - благо, его формула задана пользователем в виде ?строки? (я правильно понял?). А не попасть - это если просто пошагово идти... а как на счет метода деления пополам, отмечая разность между близкими значениями? да еше зная периоды возрастания-убывания (корни у первой производной) + типы выпуклости (корни второй) - так вообсче делать постчи нечего |
| 12. Tarasov Alexey [Glorg], 05.12.2002 10:55 |
Дык при делении на ноль - точка разрыва и есть Я тоже вначале Akina не понял... Я не спец в численных методах, но разве нельзя просто отслеживать резкое изменение функции с уходом на __INF__NUMBER__? Так получим разрыв такого-то рода. |
| 13. Math, 05.12.2002 12:38 |
Сомневаюсь я в том что задача разрешима даже для интервала, например, функция y=sign(x*sin(1/x)) - будет давать бесконечное число точек разрыва на интервале (0,1) кстати у функции y=(x^2)/x нет точек разрыва, если конечно точки разрыва понимаются в смысле нарушения непрерывности в данной точке. Scorpio цитата: а третий какой? вроде точки разрыва тока первого и второго рода? конечный и бесконечный скачок.цитата: причем тут производная не совсем ясно, ну например, y=abs(x) производная в нуле не существует, чем нам это поможет? |
| 14. fir-tree, 05.12.2002 12:41 |
цитата (wdraco):Да? А как насчет sign (sin (1/x))? Господа, задача нерешаемая так, как вы ее решаете. Поптому что вы функцию воспринимаете как объект, который можно вычислить - и все. А автор говорит, что у него есть аналитическое выражение для фукции, записанное в какой-то системе элементарных фунций. Именно с этим аналитическим представлением и надо разбираться. Пример: x/y => рассмотреть все случаи y=0 sign x => рассмотреть все случаи x=0 sqrt x => рассмотреть все случаи x<=0 ln x => рассмотреть все случаи x<=0 Соответственно, дальше для подвыражений ищутся решения g (x)-const=0 (и в свою очередь точки разрыва, чтобы определить промежутки знакопостоянства), по своим правилам: x+y=0 => рассмотреть все случаи x=-y x/y=0 => рассмотреть все случаи x=0 x*y=0 => рассмотреть все случаи x=0 и y=0 sign (x)=0 => рассмотреть все случаи x=0 sqrt (x)=0 => рассмотреть все случаи x=0 ln (x)=0 => рассмотреть все случаи x=1 Но, вообще-то из-за случаев типа x=-y и x/y=const получается полноценная система аналитического решения уравнений. Все-таки, если нужно сделать небольшую поделку, необходимо как-то ограничить требования: рассматривать не любые функции на входе, а только определенного вида, размеров, степеней. Tarasov Alexey [Glorg] А оптимизация здесь, имхо, лишняя - по крайней мере, это не то, на чем сейчас следует сосредоточиться. Добавление от 05.12.2002 12:46: Math |
| 15. Tarasov Alexey [Glorg], 05.12.2002 12:56 |
fir-tree А оптимизация здесь, имхо, лишняя Я в качестве курсовой миллион + 1 уравнение решал (правда матрица у них трехдиагональная была ), кто знает чего авторы темы вдруг захотелось разрывы поискать.а третий какой? может конечный в бесконечный предел? Или устранимая точка разрыва. ИМХО тут примерно 3-4 случая будет. |
| 16. Math, 05.12.2002 13:06 |
fir-tree цитата: фигня зато у вас все полнее расписано и в принципе согласен либо снижаем общность, либо ......Tarasov Alexey [Glorg] цитата:  |
| 17. Murr, 05.12.2002 13:07 |
terex Для полного системы элементарных функций такого алгоритма нет и быть не может. Если же ее сократить, то можно подумать... Добавление от 05.12.2002 13:10: Math |
| 18. Tarasov Alexey [Glorg], 05.12.2002 13:13 |
Math " " - что-бы это значило? В применении к моему постингу, конечно |
| 19. Math, 05.12.2002 13:33 |
Tarasov Alexey [Glorg] просто пытался чего-то написать, потом подумал, что ты шутишь и поставил смайл. Просто есть определение точек разрыва и их классификация и как бы можно расширять и т.д., но это уже не классика Murr приду домой посмотрю точно в Фихтенгольце точное определение, но вроде все-таки 2 варианта а не 3 и не 5 |
| 20. Murr, 05.12.2002 13:37 |
Math Их два и есть, просто "бесконечный скачок" не является отдельным классом точек разрыва (является частным случаем разрыва 2-го рода: отсутствует конечный левый предел и/или отсутствует конечный правый предел). |
| 21. Math, 05.12.2002 13:39 |
Murr ну я про тоже, просто работаю с функциями ограниченой вариации, так что у меня если разрывы и появляются всегда конечные |
| 22. Scorpio, 05.12.2002 16:36 |
Точки разрывов функций: 1. устранимый - пределы слева и справа существуют и равны друг другу 2. первого рода - пределы справа и слева существуют 3. второго рода - все остальные А вобще то лучше того кто будет вводить функции заставить думать, что он делает. 1. Для начала потребовать область построения x0,x1,y0,y1. 2. В программе отлавливать исключения деления на "0" , отрицательный корень, логорифм (<=0), последние два условия можно перевести в комплексную математику, и при Im не равном 0, просто не строить. 3. Дальше строим график, ни очем не думаем, шагая через точки где исключения или когда они не попадают на экран, просто не выводя из на график. Никакого анилиза, все просто. |
| 23. terex, 05.12.2002 17:48 |
цитата (Scorpio):Кстати, в Фихтенгольце псано, что 1 это есть частный случай 3 и в отдельную категорию он не выноситься  цитата (Scorpio):Заставлять пользователя думать? Ммм, интересная мысль! hint: Зайдите в офис, посмотрите на любую секретаршу... только не спрашивайте, зачем ей графие строить нужно =) цитата (Tarasov Alexey [Glorg):Писал уже. Хочется банально нарисовать график, указав при этом все (исвестные первокурснику) особенности функции. цитата (fir-tree):  Как раз сюда щас и пришёл об этом писать, ибо сам догадался. Ваш постинг - самое оно. Плюс нужно добавить отлов ситуаций, когда функция задана образом, похожим на этот:код:Но это нетрудно. А так, берём выражение, являющееся аргументом функции и ОДЗ для этой функции. Составляем уравнение, или систему неравенств. Решаем и понимаем, где у нас могу быть разрывы. Вот, вроде и всё. Или нет? |
| 24. Scorpio, 05.12.2002 17:56 |
terex Простой пример f(x) = x/Sin(x) или Sin(x)/x Попробуй построй. зачем секретарше строить функции с особыми точками, она скорее всего и корень то вычислять не будет, а тут ей на графике указано, здесь максимум, здесь минимум, здесь перегиб, а вот тут с одной стороны -бесконечность, с другой +бесконечность. |
| 25. terex, 05.12.2002 18:14 |
цитата (Scorpio): ] f(x) = x/sin(x) Без проблем. Корень дерева - деление. Рассматриваем левую ветвь (числитель) ОДЗ - аргумент может принадлежать всей вещественной оси. ОДЗ на "правую" ветвь (знаменатель): аргумент != 0, т.е sin(x) != 0. Решаем уравнение sin(x) = 0. Находим корни (один корень). Изначально зная, что функция периодична (и зная её период), можем говорить, что x = Pi*n (n принадл. Z) точки разрыва функции. На всякий случай напомню, что я первокурсник, и для меня пока представляется, что любая сложная функция может (и обязана) быть представлена в виде композиции элементраных функций. Изначально описав все особенности каждой из элементраных функций (а их конечное число!) можем не обламываясь использовать описанный метдот для работы с любой (аналитически и явно заданной) функцией. Ведь так? Или есть что-то, чего я ещё не успел узнать, но что мешает использовать этот метод? Добавление от 05.12.2002 18:16: Ах да, самое важное забыл сказать: программно всё это вполне реализуемо (и это очевидно даже для меня, молодого и мало знающего =) |
| 26. titov_alex, 05.12.2002 18:28 |
| Умную мысль сказал terex! Ведь все-равно (на скока я понимаю) нужно писать интерпретатор мат. формул=>что нам мешает описать !!ВСЕ!! те фнукции, которые мы в него заложим. Более того, для обработки формулы в любом случае придется анализировать синтаксис (я правильно его назвал? можно еще сказать - структуру) формулы, определить вложенность выражений и фнукций! => в это же время можно просматривать выражения на возможные точки разрыва... правда при этом придется искать корни вложенных функций, а их-то может быть ОЧЕНЬ много, даже в интервале... Но по крайней мере, программа сможет выдавать точный ответ в большинстве более-менее ситуаций.. |
| 27. terex, 05.12.2002 18:42 |
цитата (titov_alex):Не поверите, я его УЖЕ написал (отсюда и дерево, в виде которого представлена функция), теперь вот начал реализовывать описанный выше метод. А мысль умную первым сказал fir-tree, только не был до конца понят. Я лишь "популярно" объяснил  Однако, Вы справедливо заметили, что могут возникнуть проблемы при нахождении корней уравнений/решений системы неравенств (если там крокодилы пятиэтажные заооблачных степеней присутсвовать будут). Однако, алгоритмы их решения имеются в изобилии в любой толковой книжке про прикладную математику. Так что, задачу, вобще говоря, можно счиать решёной. Но тему не закрываю - мало ли у кого умная мысль возникнет  Добавление от 05.12.2002 18:47: offtopic: вот я тут программирую по 7-8 часов в день (на дому), сижу на окладе. А он < $100. Ездят на студентах, как хотятЪ, гады. =( |
| 28. Scorpio, 05.12.2002 19:03 |
terex Все хорошо, за исключением одного, в численном представлении это может и не работать. Корни знаменателя ты найдешь с определенной точностью, при построении, Х будешь просто проверять на полученые корни, но шагать будешь с каким то шагом, который скорее всего не попадет в корень. Вероятность того, что ты попадешь в особую точку со своим шагом, мала, но все же существует. |
| 29. terex, 05.12.2002 19:12 |
Scorpio Тык дело то всё в том, что мне как раз (или не как раз) НЕ НАДО попадать в точку! Нужно нарисовать график любым способом, а потом влепить туда (или написать рядом в каком-нить окне) точки, в которых имеют место разрывы функции. А что касается точности, то ведь получается, что достаточно использовать аппаратно-поддерживаемы double, а при выводе точек разрыва писать рядом, что координата может иметь погрешность, которая мешньше, чем 2^(-80). Так то. Добавление от 05.12.2002 19:14: offtopic: ну ладно уже, хватит докапываться по мелочам, дайте мне почувствовать себя умным |
| 30. fir-tree, 05.12.2002 19:20 |
terex Бяка в том, что если у тебя есть даже просто полином пятой степени и выше, аналитически корни к нему не найти. Так что ты сломаешься на первом же sign (12x12+13x11+...+x23) |
| 31. Dilmah, 05.12.2002 19:41 |
а еще как с типом tg(tg(x)) бороться? |
| 32. terex, 05.12.2002 20:01 |
fir-tree Правда что ли? Мда, а я то уж было обрадовался. А как тогда? Делать так, чтобы в правой (или левой) части уравнения стоял 0, искать максимумы/минимумы, промежутки возрастания/убывания; видеть, где функция должна обращаться в 0, а потом по теореме Коши о среднем приближённо искать все корни? Ведь вроде правильно должно быть. Во всяком случае о том, что "где-то здесь" должен быть корень можно будет вполне аргументированно заявить. Ну и найти его значение (с какой-нить разумной точностью). Да? но тормозззаа... Dilmah Хотел сходу - не получлось  Подумаю - отпишусь. Но вообще, это должно быть реализуемо... Ведь нельзя же из за такой мелочи отметать наметившийся алгоритм =) ведь маткад умеет! |
| 33. fir-tree, 05.12.2002 21:17 |
terex А как ты максимумы/минимумы найдешь, если у тебя производная тоже большой степени? эта вся бодяга только численная |
| 34. O`Serg, 05.12.2002 22:59 |
Dilmah fir-tree terex Сразу: во-первых, никто аналитически решения уравнений на компьютере не ищет. Более того, даже такая расчудесно аналитически решаемая задача, как вычисление обратной матрицы при ее реализации превращается в нечто далеко не аналитическое. По-крайней мере, часто дающее нечто сильно отличное от предсказанного единственного аналитического ответа. Зато по дереву при вычислениях можно отследить "неопределенные" точки, типа деления на очень маленькое число или ln отрицательного. ALL Все почему-то зациклились на 2х темах: 1. Задача не решается 2. Если решается, то через производные. Так вот, первое - да, не решается в целом, но для большинства случаев (сравнительно простых) решение есть. Второе: привести пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции? Проверку непрерывности нужно вести по определению. В частности, можно проводить последовательные проверки по интервалу на равномерную непрерывность, т.е. задавать фикс. маленькую eps, брать наугад delta и проходить по достаточно малой (например, с шагом delta/2) сетке и проверять, что значения ф-и меняются не очень сильно (не более eps). Те интервалы, где это нарушается, отмечаем особо и пробуем уменьшать delta до некоторого заданного предела. Оставшиеся в конечном итоге интервалы - скорее всего, содержат точки разрыва; выкинутые на более ранних стадиях - скорее всего, не содержат оных. Аналитически найти точки разрыва невозможно. Точки, где ф-я неопределена в приведенном выше алгоритме нужно пропускать - брать следующую за разрывной точку. Имеет смысл прогонять алгоритм несколько раз беря разные начальные delta и уменьшая eps; внести в него случайные "вариации" и прогонять по многу раз и вообще всячески пытаться улучшить предложенную схему. По другому, мне кажется, реализовать никак нельзя. |
| 35. titov_alex, 05.12.2002 23:01 |
кстати, у кого есть маткад, попробуйте ка ввести фнукцию с бесконечным числом точек разрыва в интервале! (например - sin(1/x) на интервале (0;1) Интересно, что из этого выйдет |
| 36. terex, 06.12.2002 00:13 |
цитата (fir-tree):И правда  цитата (O`Serg):Такая расчудесно аналитическая задача расчудесно аналитически решается, если числа в матрице принадлежат множеству рациональных чисел. А этого множества по идее должно очень даже хватать для решения большинства задач, в которых применяется вычисление обратной матрица. Или нет? цитата (O`Serg):Да! Вдруг она будет такой, которая заведомо не появиться в контексте задачи... цитата (O`Serg):Невозможно. Ввиду ограниченности точности вычислений. Да и потом, тот же tg(tg(x)) вполне себе прекрасно просматривается на предмет наличия точек разрыва на конечном промежутке вещественной оси. Гарантия обнаружения точек разрыва в этом случае 100%. Предложеный вами метод даже в этой ситуации ничего 100%тно гарантировать не может во-первых, а во-вторых, работает на несколько порядков (точное их число зависит от величины шага и количества повторений всего процесса) медленее. При этом, если вдруг разрядности используемых чисел перестаёт хватать, то оба способа ведут себя наипоганейшим образом.Конечно, если вы приведёте пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции, мне придётся пересмотреть свою позицию  titov_alex И попросить маткад показать все точки разрыва (он это умеет? я просто не в курсе) tg(tg(x)) по идее суметь не должен, ибо их появление вроде не особо периодично... А если так, то у меня будет отличный повод сказать начальству, почему этого не умеет мой класс... ведь не может же студент быть умнее стада дядек, пишущих маткад |
| 37. Scorpio, 06.12.2002 01:07 |
titov_alex Не знаю как маткад, но математика 4 строит все без проблем. Но ей плевать на поиск особых точек, она работает, судя по всему по тому алгоритму, который я описал. Даже простая утилита построения графиков, написаная мной, тоже строит все без проблем. Например фортран, отслеживает мат исключения, и в случае ошибки вместо числа пишет NaN. Подпрограмма просто пропускает эти значения. Таким образом в построение графиков проблем нет. Ну а tg(tg(x)) решения в численном виде не имеет. |
| 38. terex, 06.12.2002 01:21 |
Scorpio Так мало строить. Нужно добыть информацию об особенностях функции. Устал уж Вам это повторять... |
| 39. fir-tree, 06.12.2002 02:36 |
цитата (O`Serg):Да, и таких программ, как Maple и Mathematica, на свете не бывает... :) |
| 40. Math, 06.12.2002 09:14 |
даже интересно чем все это закончится попробуйте сузить задачку, например, на случай функций вида f(x)=P(x)/Q(x), где P,Q - полиномы опосля чего добавьте туда sin - и решить полностью, будет мне кажется не плохая оценка сложности проекта. O`Serg полностью поддерживаю что производная ни при чем, однако цитата: выраженой в виде y=f(x)? а не как предел какой нито последовательности... давай! |
| 41. titov_alex, 06.12.2002 13:09 |
обращу ваше внимание на то, что написано в теме: terex: Алгоритм нахождения точкек разрыва явно заданной функции одного аргумента Но вся фишка в том, что нек. фнукции будут иметь неограничено много точек разрыва на интервале, если в некую переодическую функцию вложить функцию с точкой разрыва (?) 1 / 2 рода (- правильно выражаюсь? - это которая с уходом в бесконечность хотя бы с одной из сторон), лежащую (точку разрыва) внутри рассматриваемого интервала В таком случае все точки разрыва можно описать только аналитическим путем (т.е. формулой, а не простым перечислением)  Но если это зашить в алгоритм анализа точек разрыва, то можно будет по крайней мере дать хоть какой-то ответ - типа "введенная фнукция на заданном интервале имеет неограниченно большое количество точек разрыва" А все-же, что говорят по этому поводу существующие мат. процессоры? Возможно. они все-же более глубоко исследуют описанные выше ситуации и выдают все-же аналитически или перечислением первых n членов последовательности точек разрыва? Ведь, все-же это должно быть реализуемо (т.к. математически такая задача решаема) |
| 42. Math, 06.12.2002 15:09 |
titov_alex цитата: за мат процессоры не скажу но что вы подразумеваете под "математически такая задача решаема" какая такая? нахождение точек разрыва функции на отрезке? - смотря что считать решением, потому как например, возьмем функциюy=1/sin(x-exp(x)) и какие у нее точки разрыва? если решение "решения уравнений вида x-exp(x)=[face=symbol]p[/face]k k- целое" устраивает, то оно конечно, а иначе - не фига |
| 43. Murr, 06.12.2002 15:48 |
fir-tree Бяка в том, что если у тебя есть даже просто полином пятой степени и выше, аналитически корни к нему не найти. Так что ты сломаешься на первом же sign (12x12+13x11+...+x23) Для полиномов есть куча эффективных способов локализации корней (метод Штурма к примеру), поэтому в дробно-рациональных функциях вопрос решаем. |
| 44. titov_alex, 06.12.2002 15:52 |
уравнение типа y=1/sin(x-exp(x)) (ур-е 1) имеет точки разрыва, когда x-exp(x)=2п*к (ур-е 2), где к - целое (sin=0) т.е. имеем уравнение 1 переменной с параметром (вспомним школу? ). Т.о. осталось найти ее корни считая 2п*к константой. Получим уравнение вида х=f(k), что и будет ответом Просто ответ будет записан аналитическим способом через третий параметр перечисляемого типа (1,2,3,...,n,...) - что является одним из способов перечисления решений (вспомните тригонометрию - там в большинстве слечаев решение представлено именно в таком виде) Или вы ститаете, что в математике решением может быть только нечто вида {1,5/3,7.2} и т.п.? Конечно, уравнение 2 также может иметь бесконечное множество корней , но все они также должны описываться аналитически через четвертый перечисляемый параметр (или несколько таковых  )  Причем, количество доп. параметров в ответе будет не более максимального уровня вложенности исходной функции, а точнее - количеству вложенных переодичных функций (хотя тут я могу ошибаться, чего-нибудь упустив). А так как имеем явно заданную аналитическим способом функцию, то макс. уровень вложенности будет конечным! Т.о. мы получим бесконечный n-мерный массив решений, что тоже является решением! P.S. Конечно это не оптимальное решение, т.к. придется искать корни множества уравнений, среди которых могут быть весьма сложные случаи цитата (fir-tree):А ведь вместь х может стоять что-нибудь посложнее, причем везде разное (например 12sin(x)12+13cos(x)11+... ) |
| 45. Math, 06.12.2002 16:07 |
titov_alex цитата: ага давай вспомним, набросай мне плиз корень хотя бы такого: x-exp(x)=0 и кстати вспоминая школу x-exp(x)=п*(2к-1) - не подходят? |
| 46. Belomor, 06.12.2002 16:10 |
Мои 3 копейки: в общем виде задача не решается за конечное время (берусь доказать за отдельную плату; для начала полезно рассмотреть sign (sin (1/x)) на отрезке (0, 1)). Следовательно, необходима дополнительная информация. |
| 47. Murr, 06.12.2002 16:33 |
Math ага давай вспомним, набросай мне плиз корень хотя бы такого: x-exp(x)=0 Могу за пиво предоставить решение этого уравнения |
| 48. Math, 06.12.2002 16:40 |
| я съкономлю пиво ты же понимаешь, что я не об этом? |
| 49. Murr, 06.12.2002 16:42 |
Math Ты безусловно прав, по сути |
| 50. titov_alex, 06.12.2002 16:56 |
Дык об этом я и сказал в P.S. "т.к. придется искать корни множества уравнений, среди которых могут быть весьма сложные случаи" Однако задача сводится к класической задаче поиска уравнений - что очень даже много (т.к. для этой задачи существует уже туча разнообразнейших алгоритмов и неменьшая туча литературы на эту тему)Согласен с Math и Murr - задача непроста (я бы даже сказал очень сложная задачка получается), но все же говорить об ее нерешаемости нельзя (в противоречии в высказываниями Belomor, Scorpio и др.) |
| 51. Math, 06.12.2002 17:30 |
titov_alex пока задача не сформулирована сказать разрешима она или нет тяжело, а на мое ИМХО строгой формулировки не прозвучало. Какие функции допустимо использовать при задании y=f(x). В каком виде должен быть получен ответ? Удовлетворит ли решение вида - "точки разрыва суть корни уравнения G(x)=0"? Потому, что если взять ту же канторову лестницу(беру относительно пиковый случай только для примера) в качестве допустимых при задании - то задача становится практически не разрешимой. А при наличии периодических функций, мы попадаем в такую, с позволения сказать, задницу что перечислить ВСЕ точки разрыва будет просто не возможно. вот такие дела на мое ИМХО, сформулируют задачку четче, можно будет думать о формальных доказательствах не решаемости. |
| 52. fir-tree, 06.12.2002 18:27 |
цитата (Math):В действительных числах? |
| 53. titov_alex, 06.12.2002 18:27 |
Math На мой взгляд, задачка вполне полно сформулировано: нужно найти точки разрыва явно заданной аналитическим образом функции (заметь, какой функции - не указывается только явно и аналитически) Решение типа "точки разрыва суть корни уравнения G(x)=0" наверняка не является решением, т.к. не указаны те самые корни - то есть то. что надо найти! Все решения должны быть перечислены (причем каким образом - решать тому, кто эту задачу решает) Надеюсь, теперь задача достаточно точно сформулирована, чтобы начить думать о формальных доказательствах ее нерешаемости? P.S. Кроме того, нельзя забывать, что речь идет об алгаритме решения для написания программы, следовательно способ описания пользователем функции и комьютером решений будет ограничен теми фунциями и синтаксическими приемами, которые зашьет программист! Соответственно, можно немного схитрить и "особо мерзкие" ситуации исключить из рассматриемого синтаксиса (в математическом языке ведь есть предостаточно инструментов для описания сверх сложных конструкций - чего стоит одно многоточие )P.P.S. Вообще, строго говоря, не следовало писать о нерешаемости, не подумав сначала о доказательстве |
| 54. terex, 06.12.2002 18:54 |
Math Murr Belomor Поясню. Задача счиатется решённой, если буду описаны все разрывы функции в каком угодно виде: перечислены, аналитически, ещё как-нибудь. Таким образом, задача очень даже решаема, ибо все разрывы всех "бяк", приводимых в качестве примеров в треде, довольно не сложным образом описываются аналитически. Да, для предотвращения возникновения флейма на тему "задача ведь не в этом, а в том" (и подобные) скажу вот чего: пишу (кстати, не без вашей помощи, господа!) класс, который по замыслу (пока моему, а не начальства) должен позволять производить анализ аналитически и явно заданной функции одной (в перспективе - не одной) переменной на столько глубоко, чтобы те, кто в последствии будет писать код для построения графика, попользовав класс имели достаточное кол-во информации о функции. Точки разрыва и прочие прелести (возможно, не необходимые для построения графика) нужны потому как функции в дальнейшем будут описывать какие-то физические процессы (о которых мне ничерта не известно), поэтому нужно знать все их особенности. и прошу, не надо теперь флеймить на тему "это ж какие процессы могут быть описаны сабжевыми функциями?" Добавление от 06.12.2002 18:56: Да, и не поленитесь перечитать предыдущий постинг от titov_alex - он, imho, правильно пишет. |
| 55. Math, 06.12.2002 19:10 |
цитата: ну на Ваш взгляд может и полно. А на мой полно это когда написано, что есть явно, например, какие функции можно использовать при явном задании, если под явным понимать y=f(x). цитата: ну вот и мимо кассы. потому как автор пишет "Задача счиатется решённой, если буду описаны все разрывы функции в каком угодно виде: перечислены, аналитически, ещё как-нибудь. " цитата: т.е. я должен был написать разрешима. потому как программист ведь может одни константы использовать (утрировано). цитата: а кто сказал что не подумал, для той задачи которую я формализовал из того что было написано здесь, у меня док-во нерешаемости есть, легко получается контр пример. terex цитата: напишите сообщите плиз все это переходит во флейм, думаю если автор сам пишет что все понятно - то и гуд |
| 56. terex, 06.12.2002 19:17 |
цитата (Math):Элементарные. Перечислять не буду: и так все знают, да и лениво =) Кстати, где-то я уже писал об этом... цитата (Math):Обещаю... Но ой как не скоро это будет. Оно само по себе трудоёмко (всё вместе), тык ещё и сессия на носу Добавление от 06.12.2002 19:20: цитата (Math):То, что это на флейм более похоже стало меня удручает. Ведь интересная вроде как дискуссия получается! А что касается "мневсёпонятности", тык это ж разве повод тред убивать? А вдруг у кого-нибудь безмерно унмая и полезная мысль появиться, и он ей поделиться захочет? |
| 57. fir-tree, 06.12.2002 21:27 |
Простите, синус - элементарная функция? Ареатангенс? Гамма-функция? Интегральный логарифм? xx? |
| 58. Vogt, 06.12.2002 21:51 |
Любая задача, разрешимая формально - разрешима (теоретически) алгоритмически. Вопрос в сложности такого алгоритма. В общем случае она (сложность) огромна. Если хочется получить практически разрешимую алгоритмически задачу, то нужно сужать класс аналитически заданных функций. Или предусмотреть в алгоритме отказ от решения. PS: Всё вышесказанное - глубочайшее ИМХО. |
| 59. terex, 06.12.2002 23:08 |
цитата (fir-tree):синус - да, арктангенс - тоже. Что такое гамма-функция я не знаю , поэтому, видимо, она не очень элементарна... (и останеться таковой в пишущемся классе, пока мне про неё чего-нить ). xx = ex*ln(x), так что не элементарна, хотя (естественно) может быть представлена в виде элементарных, поэтому с ней работать можно.Добавление от 06.12.2002 23:14: А что за зверь интегральный логарифм? |
| 60. fir-tree, 07.12.2002 01:44 |
Загляните как-нибудь на досуге в математический справочник. Правда, я придираюсь: обычно ни интегральные функции, ни гамма-функцию (обобщение факториала на R) к элементарным не причисляют. Но все равно, есть в чем покопаться. Интегральный логарифм li (x) = Integral [0, x] (dt/ ln t). Правда, в работе он мне пока не встречался .Vogt Многие задачи, решаемые на бумажке в школе и в институте, полностью неформализуемы. Начиная с целочисленных уравнений и интегрирования. |
| 61. Murr, 07.12.2002 01:57 |
terex Насчет того, что exp(x*ln(x)) неэлементарна - почему же? Композиция ведь элементарных - значит элементарна. Кстати, символ x^x не означает exp(x*ln(x)), он вообще ничего не означает, поскольку не разлагается в композицию элементарных функций по своему написанию (что связано в первую очередь со смешанной формой записи степенной и показательной функции ), поэтому, если и писать x^x, то только так: x^x =def= exp(x*ln(x)) (или вводя эквивалентные определения). |
| 62. Vogt, 07.12.2002 11:12 |
цитата: Что-то я не нашёл противоречия с моим постом. Или что это было? |
| 63. terex, 07.12.2002 12:47 |
цитата (fir-tree):Гляжу! Даже чаще чем в монитор А по поводу гамма функции и интегрального логарифма - могу сказать, что даже если они и предвидятся в задаче, то писать их поддержку меня никто заставить не в состоянии. Ибо это (согласитесь) стоит поболее 3х тр в месяц... Да и не факт, что нынешних моих знаний хватит для реализации этого чуда.цитата (Murr):потому, что есть степенная функция, которая элементарна. Есть логарифм, который тоже элементарен. А композиция элементарных функций является сложной (т.е неэлементарной) функцией (на сколько я знаю). Вроде логично. цитата (Murr):А разве курс матанализа за первый год обучения в вузе не позволяет нам именно так и делать, не особо страдая из-за формальностей? |
| 64. fir-tree, 07.12.2002 19:09 |
Vogt И я не нашел. Просто (как мне показалось) Вы высказывались в том плане, что предложенная задача разрешима алгоритмически, хотя бы принципиально (иначе, если не искать в Вашем сообщении такого смысла, оно выглядит пустым философствованием в воздух). Я же имел в виду (и продолжаю так считать), что предложенная задача без существеннейших ограничений неформализуема, и неразрешима алгоритмически. Хотя неалгоритмически с ней тоже можно бороться... terex цитата:Ну тогда не мне вам объяснять, что такое функции Бесселя... цитата:Нам - позволяет. Но машина-то этого курса матанализа не слушала... Так что научить ее - отдельная проблема. |
| 65. O`Serg, 08.12.2002 00:05 |
Проапгрейдил компьютер Duron650->Duron1300, потому так долго не отвечал. Отыгрываюсь :terex Гамма-функция является элементарной с точки зрения любого математика. Пусть ее определение (Г(x) = integralinf0e-ttx-1dt (если нигде ничего не забыл)) выглядит страшненько, зато она кучей полезных свойств обладает. Короче, есть целая масса неберущихся интегралов (насколько я помню, под общим названием Эйлеровых), которые сравнительно легко считаются через гамма-функцию. Да и вообще очень часто через гамма- и бета- функции считается все все куда проще. Одним словом, без таких функций в любой уважающей себя мат. программе - никуда . Шучу, конечно. fir-tree Интегральный логарифм действительно что-то редко встречается... Впрочем, по делу. Часто приходится на Maple прибегать к символьным вычислениям? Я когда-то пробовал... бросил как сооовершенно неперспективное в силу невероятной громоздкости выдаваемых результатов и частой невозможности аналитического разбора. terex В этом все и дело - т.к. числа у нас не R, то возникает куча проблем, в том числе и несколько теорем, приводящих оценки для точности вычислений обратной матрицы. Так вот, очень даже невинные на первый взгляд матрицы (например, aij=1/(i+j) - матрица Гаусса, если не ошибаюсь) зачастую не считаются. В частности, поэтому существует (по крайней мере, мне известно) не менее 20 методов вычисления обратной матрицы с одинаковой (n3 на константу от 1 до 3) асимптотикой Но именно изначальная ограниченность точности и невозможность точного решения данной задачи аналитически и позволяют применить предложенную мной схему. Долго - да, долго, но интеграл считать по отрезку тоже дело небыстрое, и ничего, считают ведь. ALL Строю "на глазок", найти в своих записях классический пример не удалось. Итак, пример непрерывной почти всюду (т.е. всюду кроме множества меры 0 по Лебегу) функции, нигде не дифференцируемой и заданной без пределов: f(x) = {0, x - иррациональное; 1/q, x = p/q ((p,q)=1)}. Если я правильно понимаю, данная функция нигде не дифференцируема, зато непрерывна во всех точках, кроме рациональных. Правда, контрпримером это служит чисто математическим, при вычислениях на PC такой трюк не пройдет. И, скорее всего, в силу дискретности чисел в компьютере здесь вообще такой контрпример не строится. Правда, вообще любая ф-я с точки зрения математика, на PC и дифференцируема и интегрируема, ну и непрерывна заодно . Короче, я согласен с тем, что корректного решения данная задача не имеет, а из некорректных я все же предлагаю свое применять. В любом случае других алгоритмов пока не предложено |
| 66. Vogt, 08.12.2002 12:08 |
цитата:Действительно, моё утверждение носило несколько фмлософский характер. Теперь по делу. Можно попробовать решать задачу методом экспертных систем. Т.е. в начале создаётся пополняемая база знаний, где у функций имеющих точки разрыва описывается аналитический способ представления этих точек разрыва. Предусматриваются операции декомпозиции и композиции функций. На начальной стадии производится синтаксический анализ аналитически заданной функции. Далее производится декомпозиция до стадии, допускающей применение базы знаний. В случае, если декомпозиция не допускает применение базы знаний, то отказ от решения, или пополнение базы знаний. Если декомпозиция до возможности применения база знаний успешна, то решение выдаётся при помощи синтаксического синтеза аналитического представления точек разрыва путём композиции из базы знаний. |
| 67. O`Serg, 08.12.2002 12:29 |
Vogt База знаний, вещь, конечно, хорошая, но... в общем, флаг Вам в руки и вперед, делать такую систему. Я в свое время пробовал. Тяжело, пишется долго, работает ненадежно, не во всех случаях... не знаю, имеет ли это смысл в данном случае. |
| 68. Murr, 08.12.2002 20:16 |
terex потому, что есть степенная функция, которая элементарна. Есть логарифм, который тоже элементарен. А композиция элементарных функций является сложной (т.е неэлементарной) функцией (на сколько я знаю). Вроде логично И степенная функция и логарифм - элементарные функции. И, вообще, всё, что можно записать без спецсимволов является элементарной функцией. А разве курс матанализа за первый год обучения в вузе не позволяет нам именно так и делать, не особо страдая из-за формальностей? Проблема - в отсутствии явной декомпозиции в элементарные функции, что, как подметил fir-tree, явно затруднит для машины определение желаемого. |
| 69. fir-tree, 09.12.2002 14:16 |
O`Serg Так можно было просто функцию Дирихле назвать... А все PC-функции по меньшей мере дискретны :) Vogt Можно попробовать решать задачу методом экспертных систем. Во-во-во. Неалгоритимческие (aka ИИ) подходы... O`Serg работает ненадежно, не во всех случаях - а что ж поделаешь? Неалгоритмические... |
| 70. Vogt, 09.12.2002 14:29 |
цитата:Если эти подходы ИИ реализуются алгоритмически, то так ли сами методы неалгоритмичны? |
| 71. O`Serg, 09.12.2002 21:17 |
fir-tree Ф-я Дирихле всюду разрывна... Правда, у меня и по поводу этой есть легкие сомнения... позже, если найду, скину совершенно корректный пример. Кстати, можно еще и (1 / x2) * sin(x2) рассмотреть - она в 0 непрерывна, но недифференцируема и что-то мне подсказывает, что все Ваши алгоритмы на ней благополучно рухнут. Мой, правда, тоже |
| 72. fir-tree, 09.12.2002 21:56 |
(фаталистическим тоном) На ём все рухнеть... Добавление от 09.12.2002 21:58: Vogt Почитайте немного ИИ... |
| 73. Vogt, 09.12.2002 22:40 |
цитата: Будьте любезны, подскажите, что конкретно почитать (перечитать)? |
| 74. fir-tree, 10.12.2002 01:08 |
Все, что касается поиска решения. |
| 75. Vogt, 10.12.2002 08:20 |
цитата: Хотелось бы поконкретнее. Что-нибудь про неалгоритмичность методов ИИ на традиционных компьютерных платформах (эквивалентных машине Тьюринга). |
| 76. Hameleon, 10.12.2002 12:53 |
O`Serg можно еще и (1 / x^2) * sin(x^2) рассмотреть - она в 0 непрерывна, но недифференцируема... С чего бы это? И непрерывна, и дифференцируема сколько угодно раз, и вообще аналитическая... |
| 77. fir-tree, 10.12.2002 14:30 |
Vogt Блин, да все методы ИИ неалгоритмичны! Потому что происходит поиск решения в ситуации, когда нет четкого алгоритма его достижения. Я не поинмаю, одно из двух: или вы действительно ничего не знаете о ИИ, тогда вам нужен просто кратенький ликбез, или вы в ём монстр, и меня на вшивость проверяете. Второго не надо - я сейчас в определениях по ИИ копаться не настроен. Добавление от 10.12.2002 14:35: Hameleon |
| 78. Hameleon, 10.12.2002 15:26 |
fir-tree А вы не путаете саму функцию и ее доопределение в устранимых точках разрыва? Да, конечно, путаю. С другой стороны - если исключить учебные/формальные цели - все так делают. А если еще вспомнить что конечная идея - построить график, то совсем непонятно, зачем нам устранимые точки разрывов. Тем более что множителями типа x/x их можно - формально - море наплодить. |
| 79. fir-tree, 10.12.2002 16:37 |
Просто устранение точек рахрыва - тоже несколько нетривиальная задача... |
| 80. O`Serg, 10.12.2002 17:18 |
Hameleon (1/x2sin(x2)))` = -2/(x3)sin(x2) + 2/x*cos(x2) ~ -2/x+o(1)+2/x+o(1) -> 0 (в 0). Признаю свою неправоту. |
| 81. Math, 08.01.2003 22:00 |
Так чем все закончилось? интересно же.... |
| 82. O`Serg, 10.01.2003 00:09 |
Я нашел совершенно корректный пример всюду непрерывной нигде не дифференцируемой функции. Завтра добавлю. ALL: Ну что, оживим ветку? |
| 83. fir-tree, 10.01.2003 01:45 |
Потрясающе! Как это? Надеюсь, не интеграл от функции Дирихле? |
| 84. Math, 10.01.2003 10:10 |
O`Serg дык их много таких... но все как предел равномерный элементарных получаются(вроде) а ветку оживить... интересно просто чего получилось и получилось ли чего |
| 85. O`Serg, 10.01.2003 10:38 |
fir-tree Нет, не интеграл от функции Дирихле, а просто составленный хитрым образом бесконечный ряд Функция f(x) = sumk=1inf2-ksin 8kx определена и непрерывна на R, но нигде не дифференцируема (только-только суммирование рядов обсуждали ). Сразу: не надо говорить, что функция сильно экзотическая. Гамма-функция тоже нетривиально определяется - и что? Хорошая элементарная функция. А то, что приведен вообще ряд, позволяет смело утверждать, что данная функция "хорошая" и ей полное место в вычислительных системах Добавление от 10.01.2003 10:41: Math |
| 86. Math, 10.01.2003 11:00 |
O`Serg да я не против, просто уточнил, что кк бы не сильно простые функции сорри за офтоп. |
| 87. O`Serg, 10.01.2003 12:24 |
Math Все ок fir-tree Забыл сказать: интеграл от ф-и Дирихле - тождественный 0 на любом отрезке интегрирования. Если имелся в виду пример непр. нигде не дифф. ф-и - то не в тему |
| 88. fir-tree, 10.01.2003 14:11 |
O`Serg 1. Интеграла от функции Дирихле, кажется, не существует. По крайней мере, под некоторые определения интеграла она не пролезает. Не помню точно. Хотя с другой стороны, вы правы, определенный интеграл от нее можно сообразить, считая, что ненулевая она только на множестве меры нуль, но неопределенного интеграла от нее. все-таки, не очень напишешь. 2. Ряд хороший. В принципе, я тоже подумал о чем-то таком, бесконечно сходящемся. Есть такой фрактал: рисуется на отрезке [0,1] "крышечка" _/\_ , а потом на каждый отрезок прибавляется она же, уменьшенная в нужное число раз. И так до упора. |
| 89. O`Serg, 10.01.2003 17:40 |
fir-tree 1. Интеграл от ф-и Дирихле не определен по Риману, но определен по Мак-Шейну и Курцвейлю-Хейнстоку - в этих двух интегралах он тождественный 0. Замечание про множество меры 0 - как раз про то. Только вот неопределенный интеграл при этих условиях, как не странно, существует - берем определенный интеграл от x0 до x - вот вам и первообразная в точке x. Тождественно 0, как ни странно; производная от него - тоже тождественный ноль. Противоречие с определениями? Отнюдь - теорема о дифференцировании интегралов M и K-H гласит, что производная от них совпадает с функцией почти всюду. А всюду, кроме Q точек - это почти всюду 2. Ну, о чем-то "таком" я сразу подумал, еще когда первые посты в эту тему писал. А конкретный пример - привести сложно. Фрактал "крышечка" - первая идея, которая мне в голову пришла, но просили же явно заданную функцию одного аргумента - и на ней я засел надолго. Пока не стал готовиться к экзамену по матану, а там есть такая задача - пример непрерывной нигде не дифф. ф-и |
| 90. fir-tree, 10.01.2003 19:28 |
цитата (O`Serg):Ну мы люди темные, таких словей-то не знаем. Это какие годы-то? Девятнадцатый век, или где? И вообще, навскидку, сколько определений интеграла вы знаете? Просто интересно на умного человека посмотреть... |
| 91. O`Serg, 10.01.2003 23:52 |
fir-tree Это не умный человек - это базовый курс матанализа . Могу назвать 4 интеграла - Римана, Мак-Шейна, Курцвейля-Хенстока и Стилтьеса. Лектор про еще какой-то говорил, но про него утверждалось, что лет 40 назад доказали, что он эквивалентен инт. Макшейна и в программу он не входит.R - базовый, самый простой интеграл, но по нему мало что интегрируется M - самый часто используемый. У ф-й, интегрируемых по нему и у самого интеграла куча хороших свойств, хотя часть ф-й по нему и не интегрируется. Но все равно на нем очень много чего строится K-H - самый мощный. Интегрирует практически что угодно. Но интегрируемые по нему функции слишком общи, слишком мало интересных свойств S - бывает R-S, M-S и K-H-S - просто версии интегралов не с dx, а с d f(x). Даты появления (если правильно помню) XVIII-XIX века |
| 92. fir-tree, 11.01.2003 01:31 |
А интеграл Лебега? |
| 93. Артём, 11.01.2003 14:29 |
O`Serg Это не умный человек - это базовый курс матанализа . Могу назвать 4 интеграла - Римана, Мак-Шейна, Курцвейля-Хенстока и Стилтьеса. Лектор про еще какой-то говорил, но про него утверждалось, что лет 40 назад доказали, что он эквивалентен инт. Макшейна и в программу он не входит. И зачем же все эти интегралы требуются ? Разве Лебег всё что хочешь не охватывает ? Хотя я тоже человек тёмный, кроме как Риманом ничем больше не пользовался. А вообще функции, не интегрируемые по Риману, кроме как в курсах матанализа, ещё где встречаются  ? простое любопытство |
| 94. Math, 11.01.2003 16:38 |
O`Serg интеграл Римана знаю, Лебега тоже, перековырял всю мат энциклопедию, но ни Мак-Шейна, ни Курцвейля-Хенстока не нашел... полез в Фихтенгольца - там тоже нет .... думаю что ж это за базовый курс матана, такой .... потом таки нашел определения в одной статье в мат заметках..... но оно (определение) рассматривает функции отображающие отрезок вещественной оси в абстрактное банахаво пространство и теперь мучает меня вопрос, а если сузить класс функций до случая когда в качестве образа будет гильбертово пространство, или даже просто отрезок вещественной оси, не совпадет ли множество функций интегрируемых ну хотя бы по Мак-Шейну с множеством функций интегрруемых по Лебегу. И еще в каких случаях есть резон пользоваться этими самыми интегралами? шире ли класс функций интегрируемых по ним класса функций интегрируемых по Лебегу и есть ли теоремы (ссылки приветствую)говорящие о том насколько шире? Вот просветите меня пожалуйста с точки зрения базового курса матана Артём цитата: встречаются, но реже |
| 95. Артём, 11.01.2003 17:42 |
Открываем функан Пугачёва... Интеграл Бохнера вижу, Лебега вижу, ... Лебег-Стилтьес тоже есть,...больше ничего не вижу... У Кантаровича тем более его не будет.. Неа, про базовый курс матана я бы поспорил .O`Serg R - базовый, самый простой интеграл, но по нему мало что интегрируется Мало что интегрируется ??? Боюсь что все нормальные функции, кроме как различные Каторовы лестницы, функции Дирихлу и др., существующие только в воображении математиков, интегрируются Риманом . |
| 96. fir-tree, 11.01.2003 20:35 |
Нормальные - это те, которые встречаются в физике и вообще в reallife? Согласен. Но зачем-то их придумывали (и функции, и интегралы). |
| 97. O`Serg, 12.01.2003 00:55 |
Math fir-tree Не нашел точного соответствия. По-моему, интеграл Лебега - частный случай Мак-Шейна. Определение: ф-я f(x) интегрируется на [a,b] по Лебегу к S, если для любого eps существует delta(x) такая, что для любого разбиения [a,b], согласованного с delta(x) (т.е любого множества из n непересекающихся отрезков dn покрывающих все [a,b] и n точек en, таких, что такими, что dn принадлежит delta(en) окрестности точки en) интегральная сумма Римана (т.е. sumk=1nf(en)|dn|dx) отличается от S не более, чем на eps. Интеграл K-H - то же самое, что M, но там дополнительно накладывается условие en принадлежит dn. Интеграл R - то же самое, что K-H, но там delta(x) = const. примечание: курс - обычный мех-матовский . Я, честно говоря, подозревал, что он сильно отличается от "нормального", но все же предполагал, что все 3 интеграла читают и в других ВУЗах кроме МГУfir-tree Артём По Риману даже 1/sqr(x) не интегрируется в области 0. А по M - уже интегрируется. Вообще ф-я интегрируема по R <-> ф-я ограничена и непрерывна почти всюду на отрезке интегрирования. Это очень узкий класс функций (хотя все программисты почему-то им довольствуются )Артём Да, кстати, Канторова лестница, по-моему, очень даже интегрируется по Риману. Вообще, очень красивая конструкция. Чем не нравится? Вообще же R - используется (см выше ) для ограниченных и непрерывных почти всюду функций. И там, где критична простота вычислений.Интеграл M - чаще всего, по нему почти все интегрируется + класс интегрируемых по M функций очень интересный. Интеграл K-H - там, где не работает M, но проинтегрировать все-таки можно . Как раз в тех "абстрактных математических конструкциях". Хотя считать его проще, чем M. А также он используется там, где нужно побыстрее и поточнее вычислять интегралыИнтегралы S - понятно где. И понятно, что R-S ~ R, M-S ~ M и т.д. ALL: Ссылки будут позже. Если останется желание. Вообще - еще раз посмотрите на посты №2-5 на странице. Интегралы к нему мало отношения имеют, зато это ближе к сабжу (это я совсем не к тому, чтобы этот разговор прекращать - просто хочется услышать мнения о нахождении точек разрыва явно заданной ф-и одного аргумента, см. тему на стр 1-3) |
| 98. Артём, 12.01.2003 12:55 |
fir-tree Нормальные - это те, которые встречаются в физике и вообще в reallife? Ага.Но зачем-то их придумывали (и функции, и интегралы). Рациональные предпосылки трудно осознать, самому интересно. Наверное ребятам нечего было делать, вот они и развлекались, а чем ещё математикам-теоретикам заниматься на досуге ? Хотя без Лебега вроде бы нельзя теорию обобщённых решений построить (откуда Галёркин, Ритц и т.д.), хотя с другой стороны у Воровича, Лебедева (Функан в МСС) Лебег получается как предел интегралов Римана от последовательности функции..., а потом даже нигде не упоминается, да и вообще, от Римана мало чем отличается . O`Serg По Риману даже 1/sqr(x) не интегрируется в области 0. Ну и зачем тебе понадобилось интегрировать эту функцию в области нуля ? Вспомнил ! В граничных интегральных уравнениях требуется интегрировать функции типа 1/x, 1/x^2, lnx около нуля. Там всё просто решается - valeur principal по Коши и всё зануляется .Это очень узкий класс функций (хотя все программисты почему-то им довольствуются ) Ну во первых не только программисты, а боюсь, что и инженеры, физики и т.д (и не почему-то, а см. выше почему). Зачем придумывать функции, которые не интегрируются, когда то, что реально встречается интегрируется... |
| 99. O`Serg, 12.01.2003 14:37 |
Артём цитата (Артём):Ну, как сказать... 1/x, 1/x^2, ln x они никак в области нуля не интегрируются . А вот integral011/sqr(x) уже вполне определен. Не знаю, что на практике, но что-то мне подсказывает, что время от времени все же нужно уметь интегрировать неограниченные функции. В конце концов, почему нет? По крайней мере, в математике такое сплошь и рядом. Интеграл Римана там почти не используется. А все инженеры и физики, в конечном-то итоге, оперируют результатами, которые им предоставила математика. Вы просто математикой не занимались, поэтому и не представляете красоту и полноту теории. Там место, роль и взаимоотношения интегралов полны и красивы. И даже пусть на практике не всегда используются ее построения, но Вы же сами согласились, что на них строются многие практически значимые следствия. Почему бы тогда не забыть про комплекснозначные функции и ряды - в природе комплексных чисел ведь не встречается, это так, математическая абстракция? К тому же Вы пропустили еще небольшое замечание - интеграл Римана хотя и очень простой, но при вычислениях более быстрый и точный способ - вычислять с использованием интеграла Курцвейля-Хенстока. Впрочем, предположение "развлекались" звучит интересно . Хотя мягко говоря, странно. Если бы математика развивалась в процессе развлечений... ох и недалеко бы она зашла. Да, кстати, определение интеграла Лебега - в студию! |
| 100. Murr, 12.01.2003 15:12 |
O`Serg Не путай несобственные интегралы и интеграл Римана. Последний не определен на интервале, где подынтегральная функция неограничена. |
| 101. Math, 12.01.2003 15:23 |
Артём цитата: ПЯТЬ БАЛЛОВ !!!!!! я читал и плакал..... хотя конечно, если так его определить, то от Римана он и правда отличаться будет не сильно. А вообще критерием полезности тех или иных научных результатов для Вас несомненно служит революционное чутье? Кстати, может таки создать во флейме тему "какая математика нужна трудовому народу" а то здесь вроде не много о другом. так все таки по теме. хоть какой то результат получили, те кто занимался? интересно же посмотреть |
| 102. Артём, 12.01.2003 17:20 |
O`Serg Ну, как сказать... 1/x, 1/x^2, ln x они никак в области нуля не интегрируются . А вот integral011/sqr(x) уже вполне определен. Действительно маху дал , извиняюсь. А всё-таки интеграл от 1/x, 1/x3 на симметричном интервале вокруг нуля по Коши существует и равен нулю . Определение интеграла Лебега - см. любую книгу по функану (Треногин В.А. Функциональный анализ, -М.:Наука, 1993, с. 72. Ворович, Лебедев ФА..). Math ПЯТЬ БАЛЛОВ !!!!!! я читал и плакал..... хотя конечно, если так его определить, то от Римана он и правда отличаться будет не сильно. Я его ни так ни по другому не определял . См. Литературу.А вообще критерием полезности тех или иных научных результатов для Вас несомненно служит революционное чутье? Для меня - нет , а почему бы не используемость при решении прикладных задач ?Кстати, может таки создать во флейме тему "какая математика нужна трудовому народу" а то здесь вроде не много о другом. Очень даже может быть |
| 103. fir-tree, 12.01.2003 19:03 |
цитата (O`Serg):Да ну? Да вам на Нобелевку баллотироваться надо! Или как там называется ее аналог для математиков... |
| 104. O`Serg, 12.01.2003 19:03 |
Murr Это где я их путаю? Я как раз здесь изрядное количество времени говорю, что интеграл Римана - плохо, т.к. неограниченные функции по нему не интегрируются. Да, можно проинтегрировать 1/sqr(x) в окрестности 0 как несобственный интеграл по Риману - т.е. как предел интегралов Римана от eps до 1, скажем (при eps->0). Интегралы M и K-H тем и хороши, что прекрасно интегрируют 1/sqr(abs(x)), скажем, на [-1/2, 1] как собственный.Обоснуйте свое мнение (я ведь тоже могу ошибаться ).Артём Не знаю, что с симметричными интервалами - мы немного другие ситуации рассматриваем все же. Литературы элементарно нет под рукой. Если не забуду - гляну в интернете. К слову - раз уж Вы упоминаете интеграл, то хотя бы приближенно должны знать, что это такое. Ссылки на литературу - это хорошо, но уж определение сюда вписать можно было? Тем более, что у Вас эта литература есть. Еще раз: раз Вы не математик, а "практик" и применяете практически результаты математиков, то и не рассуждайте о том, как они получаются и какие из промежуточных результатов полезны, а какие - нет. Вы вообще в курсе, что на практике часто применяются некоторые частные случаи более общих результатов? И что эти частные случаи без общих получить весьма затруднительно? Ладно, разговор вошел в плотный оффтоп. Пора кричать: "Автора!" (темы, конечно же). Поддерживаю предложение перенести этот спор во флейм. ALL: (особенно только что присоединившихся) Вопрос номер один: есть ли у кого-нибудь практические результаты по теме? Вопрос номер два: возможен ли в принципе такой алгоритм? Вопрос номер три: на основе чего его нужно строить (на определении непрерывности, анализе функций, на вычислении производной etc) |
| 105. Артём, 12.01.2003 20:27 |
O`Serg К тому же Вы пропустили еще небольшое замечание - интеграл Римана хотя и очень простой, но при вычислениях более быстрый и точный способ - вычислять с использованием интеграла Курцвейля-Хенстока. Всё понятно, перед тем, как подсчитать интеграл, в следующий раз начну со штудирования определения интеграла Курцвейля-Хенстока, раз без него никуда . |
| 106. O`Serg, 12.01.2003 20:35 |
интересующимся Обещанная тема здесь (http://forum.ixbt.com/0015/038380.html) Артём Флаг в руки. Тема интересная. А главное - интеграл K-H не сильно (с виду хотя бы) от R отличается. |
| 107. Артём, 12.01.2003 20:41 |
O`Serg К слову - раз уж Вы упоминаете интеграл, то хотя бы приближенно должны знать, что это такое. Ссылки на литературу - это хорошо, но уж определение сюда вписать можно было? Неужели от того, что я выпишу определение интеграла Лебега, что-то изменится ? Не вижу в этом никакого смысла, учитывая, что это классика.Еще раз: раз Вы не математик, а "практик" и применяете практически результаты математиков, то и не рассуждайте о том, как они получаются и какие из промежуточных результатов полезны, а какие - нет. Вы вообще в курсе, что на практике часто применяются некоторые частные случаи более общих результатов? Я бы на вашем месте не делал поспешных выводов . Про симметричные интервалы - пример того, что при большой надобности и желании и Риманом обойтись можно в случае неограниченных функций. |
| 108. Murr, 13.01.2003 10:37 |
O`Serg Да ничего-ничего. Просто я наверное неправильно проинтерпретировал фразы. цитата: цитата: |
| 109. O`Serg, 13.01.2003 14:34 |
Артём Ладно, объясняю доступнее. Выписать Вам определение проще, чем мне - искать учебник с этим определением. Если Вы обратили внимание, говоря о интегралах R, M, K-H и S я привел их определение. Неужели это сложно сделать? А писать "это классика" и "не о чем тут говорить" может каждый. Мне ведь тоже интересно знать, что это за интеграл такой хитрый и почему я о нем не знаю Симметричные интегралы. Гм. И часто их можно применять ? Да, можно и это уже писал Murr - перейти к несобственным интегралам, например. Но во-первых, зачем все усложнять? Во-вторых, класс ф-й, интегрируемых по Макшейну интересен сам по себе (например, у ф-й, интегрируемых по М коэффициенты в ряде Фурье стремятся к 0) - зачем все упрощать только до тупого применения определения интеграла?Еще раз напоминаю: весь флейм теперь - сюда Какая математика нужна трудовому народу? (http://forum.ixbt.com/0015/038380.html) . Murr О чем-то таком я и подумал |
| 110. fir-tree, 13.01.2003 20:13 |
цитата:Ну вы молодец - завели тему в том форуме, в котором я не бываю. Хоть предупредили бы... |
| 111. O`Serg, 13.01.2003 20:23 |
fir-tree Предупредил, причем 2 раза Добавление от 13.01.2003 20:27: кстати, это ведь Ваше предложение, по-моему, было |
| 112. fir-tree, 13.01.2003 20:49 |
O`Serg Упс. Nicht, не мое. |
| 113. BlackLor (Pell), 14.01.2003 21:29 |
По теме. IMHO, такого алгоритма просто не существует. Вот хотя бы пример: f(x) = (x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x)-1. Нахождение точек разрыва этой функции сводится к решению ур-ия пятой степени. Как раз сегодня алгебраисты/программисты/логики с четвертого курса мех-мата НГУ отсдавали теорию Галуа, где доказывается, что фиг Можно, конечно, попытаться разделить корни, дихотомия и все дела... Однако тут, как я понимаю, алгоритм сложно выискивать.Хотя можно попытаться нарисовать матрицу, для которой енто ур-е характеристическое (как? а то я алгебру того самого, забыл уже ), и дальше простейшим методом наибольшее собственное число (пусть будет l ) находится с большой точностью, делим полином на (x-l), уменьшаем степень, ошибка наверняка накапливается, не получится судя по всему |
| 114. O`Serg, 14.01.2003 21:59 |
BlackLor (Pell) Гм. Теорему нужно аккуратнее формулировать, а звучит она так: уравнение выше 5й степени не разрешимо в радикалах. Скажем, существуют универсальные методики, позволяющие аналитически решать полиномиальные уравнения любой степени. Более того, зачем обязательно аналитически? Алгоритмы, скажем, поиска корней уравнения, быстро находят практически у любой функции ее корни с любой заданной точностью (на заранее заданном отрезке, правда, но это непринципиально). В этой ситуации ошибка не накапливается, как это часто бывает - в силу особенностей алгоритма. Методики - дихотомия для грубой прикидки, где корень находится, а далее - более продвинутые методы, например Ньютона (в общем случае - аппроксимация известной функции какой-нибудь простой (в Ньютоне - линейной) ф-ей, у которой корень легко найти, затем - вычисление ошибки, коррекция аппроксимации и так далее). Одним словом, алгоритмы поиска корней очень хорошо отработаны, и как раз с этим проблем не возникает. Поэтому вопрос очень спорный. Да, аналитически, согласен, в общем случае - невозможно (но упростить себе жизнь аналитическим разбором - можно), вопрос скорее в том есть ли числовые методы, способные определять точки разрыва. |
| 115. fir-tree, 15.01.2003 15:07 |
цитата (O`Serg):Правда-правда? А что тогда значит "аналитически"? |
| 116. O`Serg, 16.01.2003 22:27 |
fir-tree Позже отвечу |
| 117. Виктоша, 24.09.2009 19:16 |
O`Serg Позже отвечу И не ответил... Обещанного три года ждут, а, если прошло больше, значит, обещание было впустую... |
| URL: | http://forum.ixbt.com/topic.cgi?id=26:19226 |