nikvic, Дрон
Господа, давно от вас задач хороших не было. От меня впрочем тоже...

Что с моими задачами? около 10-ти штук вроде было, парочка не решена...
Нужно новых элементарных задач для раздумья. Я впрочем сейчас на шахматы подсел капитально и в метро
шахматные задачки решаю, но математическая задача победит шахматную конечно.

Таки нашёл хороший уёб-сайт с тактикой для iPhone ... или программу для него же где много тактических упражнений ?

Гриша Крокодылкин
Нужно новых элементарных задач для раздумья.



С современными вывертами -

http://krylov.livejournal.com/2254630.html

Выразить BD через x=AB=BC решая треугольники ADC и ABD я бы так делал.

amdfan
nikvic
Да это же ерунда, треугольник равнобедренный, проводим от В вниз высоту, она делит верхний угол строго пополам и входит в AC перпендикулярно. Рассмотрим правую половину, сверху угол будет 40, снизу 90, оставшийся угол 180-90-40=50, вычитаем 30, получаем 20.

Аналогично с левой половиной получим 50-10=40.

nikvic
150^о

Витька
Померил?

Makstar
Аналогично с левой половиной получим 50-10=40.
А дальше ? Надо угол BDC (или ADB) найти

Исправлено: amdfan, 12.06.2011 19:30

Makstar

Да. В CorelDRAW.
А если в общем случае решать, то обозначив p=10, q=30, m=80/2, x=150 получим:

amdfan
Вот, если в цифрах не ошибся, получается такая неравносторонняя четырёхугольная фигура, через которую провели диагональ как показано. Определите углы при диагонали - решите задачу. Правый нижний угол при диагонали прибавьте 40 - получите искомый.
Витька
С вашим ответом совпадает.

http://forum.ixbt.com/post.cgi?id=attach:64:2201:1898:1

Исправлено: Makstar, 12.06.2011 20:15

Наши деды не знали ентих глупостеф

Ключевой момент - доказать, что AB=AD. Это можно сделать дорисовав окружность с центром в B и радиусом AB. Разместим на "нижней" части окружности между A и C произвольную точку D'. Несложно заметить, что величина угла AD'C=140 градусов. Дальше всё просто.

Vogt
окружность с центром в B и радиусом AB. Разместим на "нижней" части окружности между A и C произвольную точку D'. Несложно заметить, что величина угла AD'C=140 градусов. Дальше всё просто.


Ничего нового на пути к счастью и простоте не получица

nikvic
Ничего нового на пути к счастью и простоте не получица
А должно было? Получим 150 градусов без того, что нужно было знать нашим дедам.

Так получите - пока не вижу. Да, будет у Вас 140 внизу, но и новые неизвестные углы. Так что AB=AD пока нет.

nikvic
будет у Вас 140 внизу, но и новые неизвестные углы
Ну дальше просто помещаем D' зеркально D относительно AC (а у нас это очевидно получится, ибо угол ADC тоже 140 градусов), и получаем равносторонний треугольник ABD'. Отюда искомое равенство.

Непонятно - нужна картинка. Точка D' у Вас "произвольна", а фраза "помещаем D' зеркально D относительно AC" кажется не имеющей смысла.

nikvic
Непонятно
Ну хорошо, давайте по-другому. Построим D' симмерично D относительно AC. Получим треугольник AD'C, равный треугольнику ADC. Точка D' будет лежать на окружности с центром B и радиусом AB, ибо угол хорды 80 градусов, значит сверху на неё опираются вписанные треугольники с углом 80/2=40 градусов, а снизу 180-40=140, а это величина угла ADC=AD'C, ибо 180-10-30=140. Треугольник ABD' - равносторонний, ибо AB=AD', а угол BAD'=60=(180-80)/2+10 градусов. Но AD=AD' по построению. Отсюда AB=AD.

Исправлено: Vogt, 13.06.2011 15:01

nikvic
Задача на сумму углов треугольника.
Сперва упрощаем задачу за счёт равнобедренности треугольника ABC:
- угол BAC=BCA=(180-80)/2=50, соответственно:
- угол DCB = 20
- угол BAD = 40
Дальше составляем систему уравнений для оставшихся неизвестными 4-х углов:
ABD=x, DBC=y, BDA=t и BDC=z
x+y=80
x+t+40=180
y+z+20=180 и
t+z+140 = 360 (сумма гугов вокруг вершины D)
Итого: 4 уравнения - 4 неизвестных (Дальше неинтересно)

-=GunFighter=-
Дальше неинтересно
А Вы бы попробовали Тут хитрее, все ж олимпиадная задачка...

-=GunFighter=-
Итого: 4 уравнения - 4 неизвестных (Дальше неинтересно)

Действительно, неинтересно: система недоопределена

Добавление от 13.06.2011 16:13:

Vogt
Треугольник ABD' - равносторонний, ибо AB=AD',

Хех, откуда AB=AD' ????

Добавление от 13.06.2011 16:17:

Eugene4
Тут хитрее, все ж олимпиадная задачка...

Тогда, у дедов-прадедов, и олимпиад-то не было.
Но Киселёв и гимназии - были

nikvic
откуда AB=AD'
AB=BD', ибо A и D' на одной окружности. Угол BAD'=60 градусов, ибо (180-80)/2+1. Имеем равнобедренный треугольник с углом 60 градусов при основании. Такие треугольники равносторонние.

Vogt
AB=BD', ибо на одной окружности. Угол BAD'=60 градусов, ибо (180-80)/2+1. Имеем равнобедренный треугольник с углом 60 градусов при основании. Такие треугольники равносторонние.

Точка В у Вас - центр окружности и ей не принадлежит.
Не видно, какую пользу можно извлечь из AD'C=140...

Vogt
Это можно сделать дорисовав окружность с центром в B и радиусом AB. Разместим на "нижней" части окружности между A и C произвольную точку D'. Несложно заметить, что величина угла AD'C=140 градусов. Дальше всё просто.
Если у вас получится вписанный четырехугольник ABCD' то угол AD'C будет ведь 100 градусов .

Про треугольник.

Можно заметить (и доказать, наверное, тоже), что если ABC=2(DAC+DCA), и DCA=30, то искомый угол BDC равен 150.
Изложенной задаче это удовлетворяет (80=2*(10+30)), поэтому ответ 150.
То есть, в данном частном случае, задача решается без синусов.

Легко заметить ещё несколько частных случаев. В моих обозначениях:

 p=q              => x=90+p
 m=30,      p=30  => x=60+2*q
 m=30,      q=30  => x=150-p
 m=p+q,     p=30  => x=60+q
 m=p+q,     q=30  => x=150
 m=120-2*q, p=30  => x=150
 m=120-2*p, q=30  => x=60+p
 m=60-q,    q=2*p => x=120+p
 m=60-p,    p=2*q => x=60+p

amdfan
Если у вас получится вписанный четырехугольник ABCD' то угол AD'C будет ведь 100 градусов
Угол хорды AC - 80 градусов. Углы вписанных треугольников, опирающихся на эту хорду, будут 80/2=40 и 180-40=140 градусов соответственно.


nikvic
какую пользу можно извлечь из AD'C=140
Польза простая - D' при таком угле, опирающемся на хорду 80 градусов, обязана лежать на окружности.

Витька
Можно заметить (и доказать, наверное, тоже), что если ABC=2(DAC+DCA), и DCA=30, то искомый угол BDC равен 150.
Изложенной задаче это удовлетворяет (80=2*(10+30)), поэтому ответ 150.
То есть, в данном частном случае, задача решается без синусов.


Стал быть, пока решения нет - если нет доказательства

Добавление от 13.06.2011 17:17:

Vogt
Польза простая

Проехали - уже было...
Но к АВ=АD или АВ=АD' отношения не имеет.

nikvic
к АВ=АD или АВ=АD' отношения не имеет
Вы согласны, что AB=BD', ибо A и D' лежат на окружности с центром B?
Вы согласны, что угол BAD'=60 градусов?
Вы согласны, что равнобедренные треугольники с углом при основании 60 градусов являются равносторонними?

Если все ответы положительны, то треугольник ABD' - равносторонний, и тогда AB=AD'.

Vogt
Углы вписанных треугольников, опирающихся на эту хорду, будут 80/2=40 и 180-40=140 градусов соответственно.
у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов = 180, один из ни 80 значит другой 100. Сделайте чертеж отметьте углы у которых речь,окружность

amdfan
один из ни 80
Один из них 40 (ибо вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине угла хорды (т.е. 80/2=40), либо равен 180-"угол хорды пополам" (т.е. 180-80/2=140)).

Vogt
а сумма = 180 = 360 /2 , именно потому что каждый из них равен половине дуги на которую опирается .

Исправлено: amdfan, 13.06.2011 19:13

amdfan
сумма = 180
Так и есть. Один 40, другой 140. Итого: 40+140=180. Четырёхугольник ABCD' - вовсе не вписанный, ибо B - центр окружности.

тогда я не понимаю о каких углах речь. Нужен чертеж)

Исправлено: amdfan, 13.06.2011 19:15

amdfan
тогда я не понимаю о каких углах речь
Четырёхугольник ABCD' - вовсе не вписанный, ибо B - центр окружности.

Нужен чертеж, после сдачи урчпов голова не варит что-то)..

amdfan
Нужен чертеж
Да забейте Вы на четырёхугольник. Для окружности с центром B хорда AC с ЦЕНТРАЛЬНЫМ углом 80 имеет два класса ВПИСАННЫХ углов, которые на неё опираются. Один 80/2=40 (он нас не интересует), а другой 180-80/2=140 (угол AD'C как раз из этого класса).